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2020-08-20 阅读量: 1127

拉格朗日乘数法

在数学最优问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。

设给定二元函数 $z=f(x,y)$ 和附加条件 $\varphi (x,y)=0$
为寻找 $z=f(x,y)$ 在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数
$F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda \varphi (x,y)$ ，其中 $\lambda$ 为参数。
令 $F(x,y,\lambda)$ 对 $x$ 和 $y$ 和 $\lambda$ 的一阶偏导数等于零，即
$F'_x=f'_x(x,y)+\lambda\varphi'_x(x,y)=0$ $F'_y=f'_y(x,y)+\lambda\varphi'_y(x,y)=0$ $F'_\lambda=\varphi (x,y)=0$
由上述方程组解出 $x$ ， $y$ 及 $\lambda$ ，如此求得的 $(x,y)$ ，就是函数 $z=f(x,y)$ 在附加条件 $\varphi (x,y)=0$ 下的可能极值点。
若这样的点只有一个，由实际问题可直接确定此即所求的点。

从定义上看，在二元的情况下，只要对 $F(x,y,\lambda)$ 求导两次，再结合条件 $\varphi (x,y)=0$ ，即可得到所求的极值点 $(x,y)$ 。

例题

已知 $a，b，c\in R^+$ ， $a+b+c=1$ ，求 $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c}$ 的最小值。

分析由柯西不等式，容易得到最小值为 $36$ ，接下来尝试用拉格朗日乘数法。

解易得 $z=f(a,b,c)=\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c}$

$\varphi(a,b,c)=a+b+c-1=0$

$F(a,b,c,\lambda)=\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c}+\lambda(a+b+c-1)$

则得到以下方程组

$-\frac{1}{a^2}+\lambda=0\tag{1}$ $-\frac{4}{b^2}+\lambda=0\tag{2}$ $-\frac{9}{c^2}+\lambda=0\tag{3}$ $a+b+c-1=0\tag{4}$

联立方程组得 $\lambda=\frac{1}{a^2}=\frac{4}{b^2}=\frac{9}{c^2}$

解得 $a=\frac{1}{6}$ ， $b=\frac{1}{3}$ ， $c=\frac{1}{2}$

所以 $z_{min}=f(\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{2})=36$

总结起来就是，要求解 $n$ 元函数的最值，有 $k$ 个限制条件，就要解 $n+k$ 个等式构成的方程组。

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