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2020-08-25 阅读量: 3387
线性代数相关笔记整理

1.行列式的性质

行列式的转置

将行列四D的行与列互换后得到的行列式,称为D的转置行列式,记为DT或D’。

性质1 将行列式转置,行列式的值不变,即DT=D.

性质2 互换行列式的两行(列),行列式的值变号。

推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式的值为零。

说明 由此性质可知,行列式的行具有的性质,它的列也具有。

性质3 用数k乘行列式的某一行(列),等于以数k乘此行列式。

推论1 如果行列式某行(列)的所有元素有公因子,则公因子可以提到行列式外面。

推论2 如果行列式有两行(列)的对应元素成比例,则行列式的值为零。

性质4 将行列式某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上,行列式的值不变。

2. 矩阵

定义;由m*n个数aij(i=1,2,..,n)按一定次序排列成的一个m行n列的矩形表,称为一个m行n列的矩阵,简称m*n矩阵,记作

其中,aij称为矩阵的第i行第j列的元素。

应注意的问题

n阶矩阵仅仅是由n2个元素排成的一个正方表,而与n阶行列式不同。

一个由n阶矩阵A的元素按原来排列的形式构成的n阶行列式,称为矩阵A的行列式,记作

矩阵的加法

两个m行n列矩阵A=(aij),B=(bij)对应位置元素相加得到的m行n列矩阵,称为矩阵A与矩阵B的和,记为A+B。

乘法的规则:前行后列

矩阵的转置性质:

(1)(ATT=A

(2)(A+B)T=AT+BT

(3)(kA)T=kAT

(4)(AB)T=BTAT

单位矩阵的性质

ImAm*n=Am*n,Am*nIn=Am*n

对于n阶矩阵A,规定A0=I

单位矩阵I在矩阵乘法中与数1在数的乘法中的性质类似

逆矩阵

对于n阶矩阵A,如果存在n阶矩阵B,使得

AB=BA=I

I是n阶单位矩阵,那么矩阵A称为可逆矩阵,简称A可逆,并称B为A的逆矩阵。

逆矩阵的性质

(1)若矩阵A可逆,则A-1也可逆,且(A-1-1=A。

(2)若矩阵A可逆,数k<>0,则kA也可逆,且(kA)-1=(1/k)A-1。\

(3)两个同阶可逆矩阵A、B的乘积是可逆矩阵,且

(AB)-1=B-1A-1

(4)若矩阵A可逆,则A的转置矩阵AT也可逆,且

(AT )-1=(A-1)T


(5)若矩阵A可逆,则|A-1|=|A|-1


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