主成分分析与因子分析及SPSS实现
一、主成分分析
（1）问题提出
在问题研究中，为了不遗漏和准确起见，往往会面面俱到，取得大量的指标来进行分析。比如为了研究某种疾病的影响因素，我们可能会收集患者的人口学资料、病史、体征、化验检查等等数十项指标。如果将这些指标直接纳入多元
统计分析，不仅会使模型变得复杂不稳定，而且还有可能因为变量之间的多重共线性引起较大的误差。有没有一种办法能对信息进行浓缩，减少变量的个数，同时消除多重共线性？
这时，主成分分析隆重登场。
（2）主成分分析的原理
主成分分析的本质是坐标的旋转变换，将原始的n个变量进行重新的线性组合，生成n个新的变量，他们之间互不相关，称为n个“成分”。同时按照
方差最大化的原则，保证第一个成分的
方差最大，然后依次递减。这n个成分是按照
方差从大到小排列的，其中前m个成分可能就包含了原始变量的大部分
方差（及变异信息）。那么这m个成分就成为原始变量的“主成分”，他们包含了原始变量的大部分信息。
注意得到的主成分不是原始变量筛选后的剩余变量，而是原始变量经过重新组合后的“综合变量”。
我们以最简单的二维数据来直观的解释主成分分析的原理。假设现在有两个变量X1、X2，在坐标上画出
散点图如下：
可见，他们之间存在相关关系，如果我们将坐标轴整体逆时针旋转45°，变成新的坐标系Y1、Y2，如下图：
根据坐标变化的原理，我们可以算出：
Y1 = sqrt(2)/2 * X1 + sqrt(2)/2 * X2
Y2 = sqrt(2)/2 * X1 – sqrt(2)/2 * X2
其中sqrt(x)为x的平方根。
通过对X1、X2的重新进行线性组合，得到了两个新的变量Y1、Y2。
此时，Y1、Y2变得不再相关，而且Y1方向变异（
方差）较大，Y2方向的变异（
方差）较小，这时我们可以提取Y1作为X1、X2的主成分，参与后续的
统计分析，因为它携带了原始变量的大部分信息。
对于二维以上的数据，就不能用上面的几何图形直观的表示了，只能通过矩阵变换求解，但是本质思想是一样的。
（一）原理和方法：
在主成分分析过程中，新变量是原始变量的线性组合，即将多个原始变量经过线性（坐标）变换得到新的变量。
因子分析中，是对原始变量间的内在相关结构进行分组，相关性强的分在一组，组间相关性较弱，这样各组变量代表一个基本要素（公共因子）。通过原始变量之间的复杂关系对原始变量进行分解，得到公共因子和特殊因子。将原始变量表示成公共因子的线性组合。其中公共因子是所有原始变量中所共同具有的
特征，而特殊因子则是原始变量所特有的部分。
因子分析强调对新变量（因子）的实际意义的解释。
举个例子：
比如在
市场调查中我们收集了食品的五项指标（x1-x5）:味道、价格、风味、是否快餐、能量，经过
因子分析，我们发现了：
x1 = 0.02 * z1 + 0.99 * z2 + e1
x2 = 0.94 * z1 – 0.01 * z2 + e2
x3 = 0.13* z1 + 0.98 * z2 + e3
x4 = 0.84 * z1 + 0.42 * z2 + e4
x5 = 0.97 * z1 – 0.02 * z2 + e1
（以上的数字代表实际为变量间的
相关系数，值越大，相关性越大）
第一个公因子z1主要与价格、是否快餐、能量有关，代表“价格与营养”
第二个公因子z2主要与味道、风味有关，代表“口味”
e1-5是特殊因子，是公因子中无法解释的，在分析中一般略去。
同时，我们也可以将公因子z1、z2表示成原始变量的线性组合，用于后续分析。
（二）使用条件：
（1）样本量足够大。通常要求样本量是变量数目的5倍以上，且大于100例。
（2）原始变量之间具有相关性。如果变量之间彼此独立，无法使用
因子分析。在SPSS中可用KMO检验和Bartlett球形检验来判断。
（3）生成的公因子要有实际的意义，必要时可通过因子旋转（坐标变化）来达到。
联系：两者都是
降维和信息浓缩的方法。生成的新变量均代表了原始变量的大部分信息且互相独立，都可以用于后续的
回归分析、
判别分析、
聚类分析等等。
区别：
（1）主成分分析是按照
方差最大化的方法生成的新变量，强调新变量贡献了多大比例的
方差，不关心新变量是否有明确的实际意义。
（2）
因子分析着重要求新变量具有实际的意义，能解释原始变量间的内在结构。
SPSS没有提供单独的主成分分析方法，而是混在
因子分析当中，下面通过一个例子来讨论主成分分析与
因子分析的实现方法及相关问题。
一、问题提出
男子十项全能比赛包含100米跑、跳远、跳高、撑杆跳、铅球、铁饼、标枪、400米跑、1500米跑、110米跨栏十个项目，总分为各个项目得分之和。为了分析十项全能主要考察哪些方面的能力，以便有针对性的进行训练，研究者收集了134个顶级运动员的十项全能成绩单，将通过
因子分析来达到分析目的。
二、分析过程
变量视图：
数据视图（部分）：
打开
因子分析的主界面，将十项成绩选入”变量“框中（不要包含总分），如下：
点击”描述“按钮，打开对话框，选中”系数“和”KMO和Bartlett球形度检验“：
上图相关解释：
”系数“：为变量之间的
相关系数阵列，可以直观的分析相关性。
”KMO和Bartlett球形度检验“：用于定量的检验变量之间是否具有相关性。
点击”继续“，回到主界面，点击”抽取“，打开对话框。
”方法“ =>”主成分“，”输出“=>”未旋转的因子解“和”碎石图“，”抽取“=>”基于
特征值“，其余选择默认。
解释：
①因子抽取的方法：选取默认的主成分法即可，其余方法的计算结果可能有所差异。
②输出：”未旋转的因子解”极为主成分分析结果。碎石图有助于我们判断因子的重要性（详细介绍见后面）。
③抽取：为抽取主成分（因子）的方法，一般是基于
特征值大于1，默认即可。
点击”继续“，回到主界面，点击”确定“，进入分析。
输出的主要表格如下：
（1）相关性检验
因子分析要求变量之间有相关性，所以首先要进行相关性检验。首先输出的是变量之间的
相关系数矩阵：
可以直观的看到，变量之间有相关性。但需要检验，接着输出的是相关性检验：
上图有两个指标：第一个是KMO值，一般大于0.7就说明不了之间有相关性了。第二个是Bartlett球形度检验，P值<0.001。综合两个指标，说明变量之间存在相关性，可以进行
因子分析。否则，不能进行
因子分析。
（2）提取主成分和公因子
接下来输出主成分结果：
这就是主成分分析的结果，表中第一列为10个成分；第二列为对应的”
特征值“，表示所解释的
方差的大小；第三列为对应的成分所包含的
方差占总
方差的百分比；第四列为累计的百分比。一般来说，选择”
特征值“大于1的成分作为主成分，这也是SPSS默认的选择。
在本例中，成分1和2的
特征值大于1，他们合计能解释71.034%的
方差，还算不错。所以我们可以提取1和2作为主成分，抓住了主要矛盾，其余成分包含的信息较少，故弃去。
下面，输出碎石图，如下：
碎石图来源于地质学的概念。在岩层斜坡下方往往有很多小的碎石，其地质学意义不大。碎石图以
特征值为纵轴，成分为横轴。前面陡峭的部分
特征值大，包含的信息多，后面平坦的部分
特征值小，包含的信息也小。
由图直观的看出，成分1和2包含了大部分信息，从3开始就进入平台了。
接下来，输出提取的成分矩阵：
上表中的数值为公因子与原始变量之间的
相关系数，绝对值越大，说明关系越密切。公因子1和9个运动项目都正相关（注意跑步运动运动的计分方式，时间越短，分数越高），看来只能称为“综合运动”因子了。公因子2与铁饼、铅球正相关，与1500米跑、400米跑负相关，这究竟代表什么意思呢？看来只能成为“不知所云”因子了。
（三）因子旋转
前面提取的两个公因子一个是大而全的“综合因子”，一个不知所云，得到这样的结果，无疑是分析的失败。不过，不要灰心，我们可以通过因子的旋转来获得更好的解释。在主界面中点击“旋转”按钮，打开对话框，“方法”=>“最大
方差法”，“输出”=>“旋转解”。
点击“继续”，回到主界面点击“确认”进行分析。输出结果如下：
这是选择后的成分矩阵。经过旋转，可以看出：
公因子1得分越高，所有的跑步和跨栏成绩越差，而跳远、撑杆跳等需要助跑类项目的成绩也越差，所以公因子1代表的是奔跑能力的反向指标，可称为“奔跑能力”。
公因子2与铁饼和铅球的正相关性很高，与标枪、撑杆跳等需要上肢力量的项目也正相关，所以该因子可以成为“上肢力量”。
经过旋转，可以看出公因子有了更合理的解释。
（四）结果的保存
在最后，我们还要将公因子储存下来供后续使用。点击“得分”按钮，打开对话框，选中“保存为变量”，方法采用默认的“回归”方法，同时选中“显示因子得分系数矩阵”。
SPSS会自动生成2个新变量，分别为公因子的取值，放在数据的最后。同时会输出一个因子系数表格：
由上图，我们可以写出公因子的表达式（用F1、F2代表两个公因子，Z1~Z10分别代表原始变量）：
F1 = -0.16*Z1+0.161*Z2+0.145*Z3+0.199*Z4-0.131*Z5-0.167*Z6+0.137*Z7+0.174*Z8+0.131*Z9-0.037*Z10
F2同理，略去。
注意，这里的变量Z1~Z10，F1、F2不再是原始变量，而是标准正态变换后的变量。
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