线性判别分析(Linear Discriminant Analysis, LDA)算法分析
一. LDA算法概述:
线性判别式分析(Linear Discriminant Analysis, LDA),也叫做Fisher线性判别(Fisher Linear Discriminant ,FLD),是模式识别的经典算法,它是在1996年由Belhumeur引入模式识别和人工智能领域的。性鉴别分析的基本思想是将高维的模式样本投影到最佳鉴别矢量空间,以达到抽取分类信息和压缩特征空间维数的效果,投影后保证模式样本在新的子空间有最大的类间距离和最小的类内距离,即模式在该空间中有最佳的可分离性。因此,它是一种有效的特征抽取方法。使用这种方法能够使投影后模式样本的类间散布矩阵最大,并且同时类内散布矩阵最小。就是说,它能够保证投影后模式样本在新的空间中有最小的类内距离和最大的类间距离,即模式在该空间中有最佳的可分离性。
假设对于一个空间有m个样本分别为x1,x2,……xm 即 每个x是一个n行的矩阵,其中表示属于i类的样本个数,假设有一个有c个类,则。
根据符号说明可得类i的样本均值为:
同理我们也可以得到总体样本均值:
根据类间离散度矩阵和类内离散度矩阵定义,可以得到如下式子:
当然还有另一种类间类内的离散度矩阵表达方式:
我们可以知道矩阵 的实际意义是一个协方差矩阵,这个矩阵所刻画的是该类与样本总体之间的关系,其中该矩阵对角线上的函数所代表的是该类相对样本总体的方差(即分散度),而非对角线上的元素所代表是该类样本总体均值的协方差(即该类和总体样本的相关联度或称冗余度),所以根据公式(3)可知(3)式即把所有样本中各个样本根据自己所属的类计算出样本与总体的协方差矩阵的总和,这从宏观上描述了所有类和总体之间的离散冗余程度。同理可以的得出(4)式中为分类内各个样本和所属类之间的协方差矩阵之和,它所刻画的是从总体来看类内各个样本与类之间(这里所刻画的类特性是由是类内各个样本的平均值矩阵构成)离散度,其实从中可以看出不管是类内的样本期望矩阵还是总体样本期望矩阵,它们都只是充当一个媒介作用,不管是类内还是类间离散度矩阵都是从宏观上刻画出类与类之间的样本的离散度和类内样本和样本之间的离散度。
LDA做为一个分类的算法,我们当然希望它所分的类之间耦合度低,类内的聚合度高,即类内离散度矩阵的中的数值要小,而类间离散度矩阵中的数值要大,这样的分类的效果才好。
这里我们引入Fisher鉴别准则表达式:
其中 为任一n维列矢量。Fisher线性鉴别分析就是选取使得达到最大值的矢量作为投影方向,其物理意义就是投影后的样本具有最大的类间离散度和最小的类内离散度。
我们把公式(4)和公式(3)代入公式(5)得到:
下面我们利用LDA进行一个分类的问题:假设一个产品有两个参数来衡量它是否合格,
我们假设两个参数分别为:
所以我们可以根据上图表格把样本分为两类,一类是合格的,一类是不合格的,所以我们可以创建两个数据集类:
cls1_data =
2.9500 6.6300
2.5300 7.7900
3.5700 5.6500
3.1600 5.4700
cls2_data =
2.5800 4.4600
2.1600 6.2200
3.2700 3.5200
其中cls1_data为合格样本,cls2_data为不合格的样本,我们根据公式(1),(2)可以算出合格的样本的期望值,不合格类样本的合格的值,以及总样本期望:
E_cls1 =
3.0525 6.3850
E_cls2 =
2.6700 4.7333
E_all =
2.8886 5.6771
我们可以做出现在各个样本点的位置:
图一
其中蓝色‘*’的点代表不合格的样本,而红色实点代表合格的样本,天蓝色的倒三角是代表总期望,蓝色三角形代表不合格样本的期望,红色三角形代表合格样本的期望。从x,y轴的坐标方向上可以看出,合格和不合格样本区分度不佳。
我们在可以根据表达式(3),(4)可以计算出类间离散度矩阵和类内离散度矩阵:
Sb =
0.0358 0.1547
0.1547 0.6681
Sw =
0.5909 -1.3338
-1.3338 3.5596
我们可以根据公式(7),(8)算出 特征值以及对应的特征向量:
L =
0.0000 0
0 2.8837
与他对应的特征向量为
V =
-0.9742 -0.9230
0.2256 -0.3848
根据取最大特征值对应的特征向量:(-0.9230,-0.3848),该向量即为我们要求的子空间,我们可以把原来样本投影到该向量后 所得到新的空间(2维投影到1维,应该为一个数字)
new_cls1_data =
-5.2741
-5.3328
-5.4693
-5.0216
为合格样本投影后的样本值
new_cls2_data =
-4.0976
-4.3872
-4.3727
为不合格样本投影后的样本值,我们发现投影后,分类效果比较明显,类和类之间聚合度很高,我们再次作图以便更直观看分类效果
图二
蓝色的线为特征值较小所对应的特征向量,天蓝色的为特征值较大的特征向量,其中蓝色的圈点为不合格样本在该特征向量投影下来的位置,二红色的‘*’符号的合格样本投影后的数据集,从中个可以看出分类效果比较好(当然由于x,y轴单位的问题投影不那么直观)。
我们再利用所得到的特征向量,来对其他样本进行判断看看它所属的类型,我们取样本点
(2.81,5.46),
我们把它投影到特征向量后得到:result = -4.6947 所以它应该属于不合格样本。
在传统特征脸方法的基础上,研究者注意到特征值打的特征向量(即特征脸)并一定是分类性能最好的方向,而且对K-L变换而言,外在因素带来的图像的差异和人脸本身带来的差异是无法区分的,特征连在很大程度上反映了光照等的差异。研究表明,特征脸,特征脸方法随着光线,角度和人脸尺寸等因素的引入,识别率急剧下降,因此特征脸方法用于人脸识别还存在理论的缺陷。线性判别式分析提取的特征向量集,强调的是不同人脸的差异而不是人脸表情、照明条件等条件的变化,从而有助于提高识别效果。
数据分析咨询请扫描二维码
在如今的数据驱动时代,掌握数据分析的工具和方法不仅是提高工作效率的关键,也是开拓职业机会的重要技能。数据分析涉及从数据的 ...
2024-11-08在现代商业环境中,企业正在逐步认识到数据挖掘技术在客户行为分析中的重要性。通过深度分析客户数据,这项技术不仅可以帮助企业 ...
2024-11-08数据挖掘分析是从大量数据中发现隐藏模式和有用信息的过程。尤其是在图数据挖掘中,提供了分析复杂关系和结构的独特视角。图数据 ...
2024-11-08在当今快速发展的商业环境中,提高运营效率已成为企业取得成功的关键因素。企业需要通过优化工作流程、利用技术创新和提升员工技 ...
2024-11-08Python 是一门非常适合初学者学习的编程语言。其简洁明了的语法、丰富的功能库,以及广泛的应用领域,使其成为学习编程的理想选 ...
2024-11-08在当今快速变化的商业环境中,金融数字化已经成为中小企业(SMEs)发展的关键驱动力。通过采用数字工具和技术,中小企业能够提高 ...
2024-11-08中小企业在全球经济中扮演着重要角色,然而,面对数字化浪潮,这些企业如何有效转型成为一大挑战。数字化转型不仅是技术的升级, ...
2024-11-08选择合适的数据分析方法是数据分析流程中的关键环节。它影响最终结论的准确性和可信度。在这个过程中,需要综合考虑数据的性质、 ...
2024-11-08在当今数据驱动的商业环境中,数据分析师扮演着至关重要的角色。他们帮助企业从大量数据中提取有用的洞察,从而推动决策制定和战 ...
2024-11-07在现代商业环境中,商务数据分析师扮演着至关重要的角色。作为联系业务需求与数据洞察之间的桥梁,数据分析师需要具备一系列技能 ...
2024-11-07在现代商业环境中,商务数据分析师扮演着至关重要的角色。作为联系业务需求与数据洞察之间的桥梁,数据分析师需要具备一系列技能 ...
2024-11-07在现代商业环境中,数据挖掘发挥着至关重要的作用。它不仅帮助企业从庞大的数据集中提取有价值的信息,还为企业的决策和业务运营 ...
2024-11-07数据分析可视化是一种通过图形化方式展现数据的技术,它使复杂的数据变得直观易懂,从而帮助我们更好地做出决策。在这个快速发展 ...
2024-11-07数据分析是一项至关重要的技能,尤其在当今数据驱动的世界中。Python以其强大的库和简单的语法成为了数据分析领域的佼佼者。本文 ...
2024-11-07在现代数据驱动的环境中,数据分析师扮演着至关重要的角色。他们需要掌握多种工具,以满足数据分析、处理和可视化的需求。无论是 ...
2024-11-07作为一名业务分析师,你将发现自己处于企业决策和数据驱动战略之间的桥梁位置。这个角色要求掌握一系列技能,以便有效地将数据转 ...
2024-11-07CDA中科院城市环境研究所(厦门)内训圆满成功 2017年9月12日-15日,CDA数据分析师在中科院城市环境研究所(厦门)进行了 ...
2024-11-07数据分析是现代商业和研究领域不可或缺的重要工具。无论是为了提高业务决策的准确性,还是为了发掘隐藏在数据中的潜在价值,了解 ...
2024-11-06数据分析是一个精细且有序的过程,旨在从海量数据中提取有用的信息,为决策提供有力支持。无论你是新手还是有经验的分析师,理解 ...
2024-11-06在当今竞争激烈的商业环境中,业务分析师(Business Analyst, BA)的角色变得愈加重要。随着企业对数据驱动决策的依赖加深,业务 ...
2024-11-06