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数据挖掘中所需的概率论 高斯的推导（七）数据分析师
2014-11-29
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数据挖掘中所需的概率论 高斯的推导（七）数据分析师

论道正态，正态分布的4大数学推导

    如本blog内之前所说：凡是涉及到要证明的东西.理论，便一般不是怎么好惹的东西。绝大部分时候，看懂一个东西不难，但证明一个东西则需要点数学功底，进一步，证明一个东西也不是特别难，难的是从零开始发明创造这个东西的时候，则更显艰难(因为任何时代，大部分人的研究所得都不过是基于前人的研究成果，前人所做的是开创性工作，而这往往是最艰难最有价值的，他们被称为真正的先驱。牛顿也曾说过，他不过是站在巨人的肩上。你，我则更是如此)。
     上述第4节已经介绍了正态分布的历史由来，但尚未涉及数学推导或证明，下面，参考概率论沉思录，引用“正态分布的前世今生”等相关内容，介绍推导正太分布的4种方法，曲径通幽，4条小径，殊途同归，进一步领略正态分布的美妙。
    「注：本节主要整编自rickjin写的"正态分布的前后今生"系列」

5.1、 高斯的推导(1809)

    第一条小径是高斯找到的，高斯以如下准则作为小径的出发点
误差分布导出的极大似然估计 = 算术平均值
    设真值为，而为次独立测量值，每次测量的误差为，假设误差的密度函数为，则测量值的联合概率为n个误差的联合概率，记为
    为求极大似然估计，令
    整理后可以得到
    令，由上式可以得到
    由于高斯假设极大似然估计的解就是算术平均，把解带入上式，可以得到
    在上式中取，有
    由于此时有，并且是任意的，由此得到：.再在(6)式中取，并且要求，且，则有，并且
    所以得到而满足上式的唯一的连续函数就是，从而进一步可以求解出
    由于是概率分布函数，把正规化一下就得到正态分布密度函数


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