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数据挖掘中所需的概率论（八）Herschel(1850)和麦克斯韦(1860)的推导
2014-11-29
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数据挖掘中所需的概率论（八）Herschel(1850)和麦克斯韦(1860)的推导

Herschel(1850)和麦克斯韦(1860)的推导

    第二条小径是天文学家John Hershcel和物理学家麦克斯韦(Maxwell)发现的。1850年，天文学家Herschel在对星星的位置进行测量的时候，需要考虑二维的误差分布，为了推导这个误差的概率密度分布f(x,y)，Herschel设置了两个准则：
  1. x轴和y轴的误差是相互独立的，即误差的概率在正交的方向上相互独立；
  2. 误差的概率分布在空间上具有旋转对称性，即误差的概率分布和角度没有关系。
这两个准则对于Herschel考虑的实际测量问题看起来都很合理。由准则1，可以得到应该具有如下形式
把这个函数转换为极坐标，在极坐标下的概率密度函数设为，有
由准则2,具有旋转对称性，也就是应该和无关，所以，综合以上，我们可以得到
取,得到,所以上式可以转换为
令,则有
从这个函数方程中可以解出,从而可以得到的一般形式如下
而就是正态分布，而就是标准二维正态分布函数。

1860年，我们伟大的物理学家麦克斯韦在考虑气体分子的运动速度分布的时候，在三维空间中基于类似的准则推导出了气体分子运动的分布是正态分布。这就是著名的麦克斯韦分子速率分布定律。大家还记得我们在普通物理中学过的麦克斯韦-波尔兹曼气体速率分布定律吗？
    所以这个分布其实是三个正态分布的乘积。你的物理老师是否告诉过你其实这个分布就是三维正态分布？反正我是一直不知道，直到今年才明白。
    Herschel-Maxwell推导的神妙之处在于，没有利用任何概率论的知识，只是基于空间几何的不变性，就推导出了正态分布。美国诺贝尔物理学奖得主费曼(Feymann)每次看到一个有的数学公式的时候，就会问：圆在哪里？这个推导中使用到了，也就是告诉我们正态分布密度公式中有个，其根源来在于二维正态分布中的等高线恰好是个圆。


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