简单易学的机器学习算法—Logistic回归

一、Logistic回归的概述
    Logistic回归是一种简单的分类算法，提到“回归”，很多人可能觉得与分类没什么关系，Logistic回归通过对数据分类边界的拟合来实现分类。而“回归”也就意味着最佳拟合。要进行最佳拟合，则需要寻找到最佳的拟合参数，一些最优化方法就可以用于最佳回归系数的确定。
二、最优化方法确定最佳回归系数
    最优化方法有基于梯度的梯度下降法、梯度上升发，改进的随机梯度下降法等等。基于梯度的优化方法在求解问题时，本身对要求解的问题有要求：即问题本身必须是可导的。其次，基于梯度的方法会使得待优化问题陷入局部最优。此时，一些启发式优化方法可以很好的解决这样的问题，但是启发式算法的求解速度较慢，占用内存较大。
    对于确定回归系数这样的问题

不存在多峰，也就是说不存在除最优值之外的局部最优值。其次，这样的问题是可求导的，所以基于梯度的方法是可以用来求解回归系数的问题的。优化算法见optimal algorithm类别。
三、Sigmoid函数

当分类边界的函数被表示出来后，可以使用一种被称为海维塞德阶跃函数(Heaviside step function)来处理，简称为单位阶跃函数。其中Sigmoid函数是其中使用较多的一种阶跃函数。Sigmoid函数如下图：

Sigmoid函数的公式为：

当z为0时，函数值为0.5；
四、实验(MATLAB程序)
    1、梯度上升法
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%%gradient method  
function weights = gradient(x, y)  
    alpha = 0.001;%Step  
    maxCycle = 500;  
    [m,n] = size(x);  
    weights = ones(n,1);  
    for i = 1 : maxCycle  
        h = sigmoid(x * weights);  
        error = y - h;  
        weights = weights + alpha * x' * error;%注意点1  
    end  
end  

    2、Sigmoid
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%% sigmoid function  
function out = sigmoid(x)  
    out = 1./(1+exp(-x));  
end  

    3、主程序
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%----start-----  
data = load('testSet.txt');%导入数据  
[m,n] = size(data);%行和列  
o = ones(m,1);  
dataX = data(:,1:2);  
X = [o,dataX];  
Y = data(:,3);  
 
%--experiments--  
weights = gradient(X,Y);  
 
%% plot the pic  
Ypic = X * weights;  
x_1 = X(:,2);  
x_2 = X(:,3);  
hold on  
for i = 1 : 100  
    if Y(i,:) == 0  
        plot(x_1(i,:),x_2(i,:),'.g');  
    else  
        plot(x_1(i,:),x_2(i,:),'.r');  
    end  
end  
x = -3.0:0.1:3;  
y = (-weights(1)-weights(2)*x)/weights(3);%注意点2  
plot(x,y);  
    4、测试的数据以及最终的分类

五、注意点
    在程序的实现过程中有两个注意点，分别用注释标出，第一处在梯度上升法中的求权重weights的公式；第二处是主程序中的注释标出。
    1、先说说第一处：
    令，则。可知，假设有m个样本，且样本之间相互独立。则似然函数为。
取对数。对其中一个样本而言求偏导：。要求极大似然估计，故要使用梯度上升法求最大值：。数据分析师培训
    2、再说说第二处：
    要画出拟合直线，横坐标为x_1，纵坐标为x_2，直线的方程为，求出x_1和x_2的对应关系即可。