详解Python编程中基本的数学计算使用

在Python中，对数的规定比较简单，基本在小学数学水平即可理解。
那么，做为零基础学习这，也就从计算小学数学题目开始吧。因为从这里开始，数学的基础知识列位肯定过关了。    

上面显示的是在交互模式下，如果输入 3，就显示了 3，这样的数称为整数，这个称呼和小学数学一样。

如果输入一个比较大的数，第二个，那么多个 3 组成的一个整数，在 Python 中称之为长整数。为了表示某个数是长整数，Python 会在其末尾显示一个L。其实，现在的 Python 已经能够自动将输入的很大的整数视为长整数了。你不必在这方面进行区别。

第三个，在数学里面称为小数，这里你依然可以这么称呼，不过就像很多编程语言一样，习惯称之为“浮点数”。至于这个名称的由来，也是有点说道的，有兴趣可以 google.

上述举例中，可以说都是无符号（或者说是非负数），如果要表示负数，跟数学中的表示方法一样，前面填上负号即可。

值得注意的是，我们这里说的都是十进制的数。

除了十进制，还有二进制、八进制、十六进制都是在编程中可能用到的，当然用六十进制的时候就比较少了（其实时间记录方式就是典型的六十进制）。

具体每个数字，在 Python 中都是一个对象，比如前面输入的 3，就是一个对象。每个对象，在内存中都有自己的一个地址，这个就是它的身份。    
>>> id(3)
140574872
>>> id(3.222222)
140612356
>>> id(3.0)
140612356
>>>

用内建函数 id()可以查看每个对象的内存地址，即身份。

内建函数，英文为 built-in Function，读者根据名字也能猜个八九不离十了。不错，就是 Python 中已经定义好的内部函数。
以上三个不同的数字，是三个不同的对象，具有三个不同的内存地址。特别要注意，在数学上，3 和 3.0 是相等的，但是在这里，它们是不同的对象。

用 id()得到的内存地址，是只读的，不能修改。

了解了“身份”，再来看“类型”，也有一个内建函数供使用type()。
    
>>> type(3)
<type 'int'>
>>> type(3.0)
<type 'float'>
>>> type(3.222222)
<type 'float'>

用内建函数能够查看对象的类型。<type ‘int'>，说明 3 是整数类型（Interger）；<type ‘float'>则告诉我们那个对象是浮点型（Floating point real number）。与 id()的结果类似，type()得到的结果也是只读的。

至于对象的值，在这里就是对象本身了。

看来对象也不难理解。请保持自信，继续。

变量
仅仅写出 3、4、5 是远远不够的，在编程语言中，经常要用到“变量”和“数”（在 Python 中严格来讲是对象）建立一个对应关系。例如：    
>>> x = 5
>>> x
5
>>> x = 6
>>> x
6

在这个例子中，x = 5就是在变量(x)和数(5)之间建立了对应关系，接着又建立了 x 与 6 之间的对应关系。我们可以看到，x 先“是”5，后来“是”6。

在 Python 中，有这样一句话是非常重要的：对象有类型，变量无类型。怎么理解呢？

首先，5、6 都是整数，Python 中为它们取了一个名字，叫做“整数”类型的数据，或者说数据类型是整数，用 int 表示。

当我们在 Python 中写入了 5、6，computer 姑娘就自动在她的内存中某个地方给我们建立这两个对象（对象的定义后面会讲，这里你先用着，逐渐就明晰含义了），就好比建造了两个雕塑，一个是形状似 5，一个形状似 6，这就两个对象，这两个对象的类型就是 int.

那个 x 呢？就好比是一个标签，当x = 5时，就是将 x 这个标签拴在了 5 上了，通过这个 x，就顺延看到了 5，于是在交互模式中，>>> x输出的结果就是 5，给人的感觉似乎是 x 就是 5，事实是 x 这个标签贴在 5上面。同样的道理，当x = 6时，标签就换位置了，贴到 6 上面。

所以，这个标签 x 没有类型之说，它不仅可以贴在整数类型的对象上，还能贴在其它类型的对象上，比如后面会介绍到的 str（字符串）类型的对象等等。

这是 Python 区别于一些语言非常重要的地方。

四则运算
按照下面要求，在交互模式中运行，看看得到的结果和用小学数学知识运算之后得到的结果是否一致
    
>>> 2+5
7
>>> 5-2
3
>>> 10/2
5
>>> 5*2
10
>>> 10/5+1
3
>>> 2*3-4
2

上面的运算中，分别涉及到了四个运算符号：加(+)、减(-)、乘(*)、除(/)

另外，我相信看官已经发现了一个重要的公理：

在计算机中，四则运算和小学数学中学习过的四则运算规则是一样的

要不说人是高等动物呢，自己发明的东西，一定要继承自己已经掌握的知识，别跟自己的历史过不去。伟大的科学家们，在当初设计计算机的时候就想到列位现在学习的需要了，一定不能让后世子孙再学新的运算规则，就用小学数学里面的好了。感谢那些科学家先驱者，泽被后世。

下面计算三个算术题，看看结果是什么
    
4 + 2
4.0 + 2
4.0 + 2.0

看官可能愤怒了，这么简单的题目，就不要劳驾计算机了，太浪费了。

别着急，还是要运算一下，然后看看结果，有没有不一样？要仔细观察哦。
    
>>> 4+2
6
>>> 4.0+2
6.0
>>> 4.0+2.0
6.0

不一样的地方是：第一个式子结果是 6，这是一个整数；后面两个是 6.0，这是浮点数。

定义 1：类似 4、-2、129486655、-988654、0 这样形式的数，称之为整数
定义 2：类似 4.0、-2.0、2344.123、3.1415926 这样形式的数，称之为浮点数
对这两个的定义，不用死记硬背，google 一下。记住爱因斯坦说的那句话：书上有的我都不记忆（是这么的说？好像是，大概意思，反正我也不记忆）。后半句他没说，我补充一下：忘了就 google。

似乎计算机做一些四则运算是不在话下的，但是，有一个问题请你务必注意：在数学中，整数是可以无限大的，但是在计算机中，整数不能无限大。为什么呢？（我推荐你去 google，其实计算机的基本知识中肯定学习过了。）因此，就会有某种情况出现，就是参与运算的数或者运算结果超过了计算机中最大的数了，这种问题称之为“整数溢出问题”。

整数溢出问题
这里有一篇专门讨论这个问题的文章，推荐阅读：整数溢出

对于其它语言，整数溢出是必须正视的，但是，在 Python 里面，看官就无忧愁了，原因就是 Python 为我们解决了这个问题，请阅读下面的拙文：大整数相乘

ok!看官可以在 IDE 中实验一下大整数相乘。
    
>>> 123456789870987654321122343445567678890098876*1233455667789990099876543332387665443345566
152278477193527562870044352587576277277562328362032444339019158937017801601677976183816L

看官是幸运的，Python 解忧愁，所以，选择学习 Python 就是珍惜光阴了。

上面计算结果的数字最后有一个 Ｌ，就表示这个数是一个长整数，不过，看官不用管这点，反正是 Python 为我们搞定了。

在结束本节之前，有两个符号需要看官牢记（不记住也没关系，可以随时 google，只不过记住后使用更方便）

整数，用 int 表示，来自单词：integer
浮点数，用 float 表示，就是单词：float
可以用一个命令：type(object)来检测一个数是什么类型。    
>>> type(4)
<type 'int'>  #4 是 int，整数
>>> type(5.0)
<type 'float'>　#5.0 是 float，浮点数
type(988776544222112233445566778899887766554433221133344455566677788998776543222344556678)
<type 'long'>  # 是长整数，也是一个整数

除法
除法啰嗦，不仅是 Python。

整数除以整数
进入 Python 交互模式之后（以后在本教程中，可能不再重复这类的叙述，只要看到>>>，就说明是在交互模式下），练习下面的运算：    
>>> 2 / 5
0
>>> 2.0 / 5
0.4
>>> 2 / 5.0
0.4
>>> 2.0 / 5.0
0.4

看到没有？麻烦出来了（这是在 Python2.x 中），按照数学运算，以上四个运算结果都应该是 0.4。但我们看到的后三个符合，第一个居然结果是 0。why?

因为，在 Python（严格说是 Python2.x 中，Python3 会有所变化）里面有一个规定，像 2/5 中的除法这样，是要取整（就是去掉小数，但不是四舍五入）。2 除以 5，商是 0（整数），余数是 2（整数）。那么如果用这种形式：2/5，计算结果就是商那个整数。或者可以理解为：整数除以整数，结果是整数（商）。

比如：
    
>>> 5 / 2
2
>>> 7 / 2
3
>>> 8 / 2
4

注意：得到是商（整数）,而不是得到含有小数位的结果再通过“四舍五入”取整。例如：5/2，得到的是商 2，余数 1，最终5 / 2 = 2。并不是对 2.5 进行四舍五入。

浮点数与整数相除
这个标题和上面的标题格式不一样，上面的标题是“整数除以整数”，如果按照风格一贯制的要求，本节标题应该是“浮点数除以整数”，但没有，现在是“浮点数与整数相除”，其含义是：

假设：x 除以 y。其中 x 可能是整数，也可能是浮点数；y 可能是整数，也可能是浮点数。
出结论之前，还是先做实验：
    
>>> 9.0 / 2
4.5
>>> 9 / 2.0
4.5
>>> 9.0 / 2.0
4.5
 
>>> 8.0 / 2
4.0
>>> 8 / 2.0
4.0
>>> 8.0 / 2.0
4.0

归纳，得到规律：不管是被除数还是除数，只要有一个数是浮点数，结果就是浮点数。所以，如果相除的结果有余数，也不会像前面一样了，而是要返回一个浮点数，这就跟在数学上学习的结果一样了。
    
>>> 10.0 / 3
3.3333333333333335

这个是不是就有点搞怪了，按照数学知识，应该是 3.33333...，后面是 3 的循环了。那么你的计算机就停不下来了，满屏都是 3。为了避免这个，Python 武断终结了循环，但是，可悲的是没有按照“四舍五入”的原则终止。当然，还会有更奇葩的出现：
    
>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004
>>> 0.1 + 0.1 - 0.2
0.0
>>> 0.1 + 0.1 + 0.1 - 0.3
5.551115123125783e-17
>>> 0.1 + 0.1 + 0.1 - 0.2
0.10000000000000003

越来越糊涂了，为什么 computer 姑娘在计算这么简单的问题上，如此糊涂了呢？不是 computer 姑娘糊涂，她依然冰雪聪明。原因在于十进制和二进制的转换上，computer 姑娘用的是二进制进行计算，上面的例子中，我们输入的是十进制，她就要把十进制的数转化为二进制，然后再计算。但是，在转化中，浮点数转化为二进制，就出问题了。

例如十进制的 0.1，转化为二进制是：0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...

也就是说，转化为二进制后，不会精确等于十进制的 0.1。同时，计算机存储的位数是有限制的，所以，就出现上述现象了。

这种问题不仅仅是 Python 中有，所有支持浮点数运算的编程语言都会遇到，它不是 Python 的 bug。

明白了问题原因，怎么解决呢？就 Python 的浮点数运算而言，大多数机器上每次计算误差不超过 2**53 分之一。对于大多数任务这已经足够了，但是要在心中记住这不是十进制算法，每个浮点数计算可能会带来一个新的舍入错误。

一般情况下，只要简单地将最终显示的结果用“四舍五入”到所期望的十进制位数，就会得到期望的最终结果。

对于需要非常精确的情况，可以使用 decimal 模块，它实现的十进制运算适合会计方面的应用和高精度要求的应用。另外 fractions 模块支持另外一种形式的运算，它实现的运算基于有理数（因此像 1/3 这样的数字可以精确地表示）。最高要求则可是使用由 SciPy 提供的 Numerical Python 包和其它用于数学和统计学的包。列出这些东西，仅仅是让看官能明白，解决问题的方式很多，后面会用这些中的某些方式解决上述问题。

关于无限循环小数问题，我有一个链接推荐给诸位，它不是想象的那么简单呀。请阅读：维基百科的词条：0.999...，会不会有深入体会呢？

补充一个资料，供有兴趣的朋友阅读：浮点数算法：争议和限制
Python 总会要提供多种解决问题的方案的，这是她的风格。

引用模块解决除法--启用轮子
Python 之所以受人欢迎，一个很重重要的原因，就是轮子多。这是比喻啦。就好比你要跑的快，怎么办？光天天练习跑步是不行滴，要用轮子。找辆自行车，就快了很多。还嫌不够快，再换电瓶车，再换汽车，再换高铁...反正你可以选择的很多。但是，这些让你跑的快的东西，多数不是你自己造的，是别人造好了，你来用。甚至两条腿也是感谢父母恩赐。正是因为轮子多，可以选择的多，就可以以各种不同速度享受了。

轮子是人类伟大的发明。

Python 就是这样，有各种轮子，我们只需要用。只不过那些轮子在 Python 里面的名字不叫自行车、汽车，叫做“模块”，有人承接别的语言的名称，叫做“类库”、“类”。不管叫什么名字吧。就是别人造好的东西我们拿过来使用。

怎么用？可以通过两种形式用：

形式 1：import module-name。import 后面跟空格，然后是模块名称，例如：import os
形式 2：from module1 import module11。module1 是一个大模块，里面还有子模块 module11，只想用 module11，就这么写了。
不啰嗦了，实验一个：
    
>>> from __future__ import division
>>> 5 / 2
2.5
>>> 9 / 2
4.5
>>> 9.0 / 2
4.5
>>> 9 / 2.0
4.5

注意了，引用了一个模块之后，再做除法，就不管什么情况，都是得到浮点数的结果了。

这就是轮子的力量。

余数
前面计算 5/2 的时候，商是 2，余数是 1

余数怎么得到？在 Python 中（其实大多数语言也都是），用%符号来取得两个数相除的余数.

实验下面的操作：    
>>> 5 % 2
1
>>> 6%4
2
>>> 5.0%2
1.0

符号：%，就是要得到两个数（可以是整数，也可以是浮点数）相除的余数。

前面说 Python 有很多人见人爱的轮子（模块），她还有丰富的内建函数，也会帮我们做不少事情。例如函数 divmod()
    
>>> divmod(5,2) # 表示 5 除以 2，返回了商和余数
(2, 1)
>>> divmod(9,2)
(4, 1)
>>> divmod(5.0,2)
(2.0, 1.0)

四舍五入
最后一个了，一定要坚持，今天的确有点啰嗦了。要实现四舍五入，很简单，就是内建函数：round()

动手试试：    
>>> round(1.234567,2)
1.23
>>> round(1.234567,3)
1.235
>>> round(10.0/3,4)
3.3333