奇异值分解SVD的理解与应用
为更好的理解这篇文章,现在这里列出几个文中出现的概念,想要更深的理解这些概念,可以看我的另一篇文章:关于特征值的理解。
向量的内积:两向量a=[a1,a2,…,an]和b=[b1,b2,…,bn],其内积为 a⋅b=a1b1+a2b2+……+anbn。
特征值与特征向量:对一个m×m矩阵A和向量x,如果存在λ使得下式成立,Ax=λx,则称λ为矩阵A的特征值,x称为矩阵的特征向量。
对角矩阵:对角矩阵是除对角线外所有元素都为零的方阵。
正交矩阵:正交是一个方块矩阵V,行与列皆为正交的单位向量,即Vn×nVTn×n=In,使得该矩阵的转置矩阵为其逆矩阵,VT=V−1。
直接进入正题,矩阵当中有一个非常著名的理论,即:
一个n×n的对称矩阵A可以分解为:A=VDVT。其中,V是一个n×n正交矩阵,并且列向量是矩阵A的特征向量;D是一个n×n对角矩阵,并且对角线上的值为对应特征向量的特征值。
上面的理论是针对一个n×n的对称矩阵,那么对于任意的一个m×n的矩阵A,有没有类似的表达方法呢。答案是肯定的,svd正是用来解决这个问题的。
对任意一个m×n的矩阵A,可以将其分解为:A=USVT。其中U是一个m×m的正交矩阵;S是一个m×n的矩阵,其主对角元素≥0,非主对角元素均为0;V是一个n×n的正交矩阵。
关于svd的证明过程,似乎更多是数值上的工作,本文想给出更多intuitive上的理解。想要了解证明的可以参考这篇论文:Kalman D. A singularly valuable decomposition: the SVD of a matrix。
这样,对任意一个矩阵,我都可以分解成三个矩阵的内积。让我们看一下它有什么神奇的性质。
AAT=USVTVSTUT=USSTUT=UDUT(1)
由于V是一个正交矩阵,VT=V−1,所以VT*V=I。S只有主对角元素不为0,那么SST的结果为一个m×m的对角矩阵D。而虽然A是任意的一个m×n的矩阵,但AAT是一个m×m的对称矩阵。这样一看,AAT=UDUT是不是和前面那个理论非常相似。那么U的列向量应该是对称矩阵AAT的特征向量,D应该是一个对角矩阵,且对角线上值是对称矩阵AAT的特征值。
ATA=VSTUTUSVT=VSTSVT=VWVT(2)
同样,V的列向量则是对称矩阵ATA的特征向量,而W则是一个n×n的对角矩阵。这里W和D实际上是相同的,只是对角线上后面的0的数量不一样。
可以看出,矩阵S主对角线上的值,实际上是对称矩阵AAT或ATA特征值的平方根。
所以,实际上svd是一个矩阵分解方法,对于任意一个m×n的矩阵A,svd都可以将其分解成为A=USVT。其中矩阵U的列向量是对称矩阵AAT的特征向量,称作左奇异矩阵;矩阵V的的列向量是对称矩阵ATA的特征向量;S是一个m×n的矩阵,主对角线上的值是对称矩阵AAT或ATA特征值的平方根,称作奇异值,且非对角线上的值为0.
不知道写到这里,大家是不是对svd有了一个比较具体的印象。然而,上面只是从数学上解释了svd的构成,我们好奇的是,从很多地方,我们都听到了svd,即使如上面所述,它长的是这个样子,但是我们它到底可以用来做什么事情呢?
下面我们举几个svd的实际应用,加深我们对它的理解。
1)有损的数据压缩
假设我们有一个m×n的矩阵A,它表示一组数据
数据分析咨询请扫描二维码
数据分析师的工作内容涉及多个方面,主要包括数据的收集、整理、分析和可视化,以支持商业决策和问题解决。以下是数据分析师的一 ...
2024-11-21数据分析师必须掌握的技能可以从多个方面进行归纳和总结。以下是数据分析师需要具备的主要技能: 统计学基础:数据分析师需要 ...
2024-11-21数据分析入门的难易程度因人而异,总体来看,入门并不算特别困难,但需要一定的学习和实践积累。 入门难度:数据分析入门相对 ...
2024-11-21数据分析是一项通过收集、整理和解释数据来发现有用信息的过程,它在现代社会中具有广泛的应用和重要性。数据分析能够帮助人们更 ...
2024-11-21数据分析行业正在迅速发展,随着技术的不断进步和数据量的爆炸式增长,企业对数据分析人才的需求也与日俱增。本文将探讨数据分析 ...
2024-11-21数据分析的常用方法包括多种技术,每种方法都有其特定的应用场景和优势。以下是几种常见的数据分析方法: 对比分析法:通过比 ...
2024-11-21企业数字化转型是指企业利用数字技术对其业务进行改造和升级,以实现提高效率、降低成本、创新业务模式等目标的过程。这一过程不 ...
2024-11-21数据分析作为一个备受追捧的职业领域,吸引着越来越多的女性加入其中。对于女生而言,在选择成为一名数据分析师时,行业选择至关 ...
2024-11-21大数据技术专业主要学习计算机科学、数学、统计学和信息技术等领域的基础理论和技能,旨在培养具备大数据处理、分析和应用能力的 ...
2024-11-21《Python数据分析极简入门》 第2节 3 Pandas数据查看 这里我们创建一个DataFrame命名为df: importnumpyasnpi ...
2024-11-21越老越吃香的行业主要集中在需要长时间经验积累和专业知识的领域。这些行业通常知识更新换代较慢,因此随着年龄的增长,从业者能 ...
2024-11-20数据导入 使用pandas库的read_csv()函数读取CSV文件或使用read_excel()函数读取Excel文件。 支持处理不同格式数据,可指定分隔 ...
2024-11-20大数据与会计专业是一门结合了大数据分析技术和会计财务理论知识的新型复合型学科,旨在培养能够适应现代会计业务新特征的高层次 ...
2024-11-20要成为一名数据分析师,需要掌握一系列硬技能和软技能。以下是成为数据分析师所需的关键技能: 统计学基础 理解基本的统计概念 ...
2024-11-20是的,Python可以用于数据分析。Python在数据分析领域非常流行,因为它拥有丰富的库和工具,能够高效地处理从数据清洗到可视化的 ...
2024-11-20在这个数据驱动的时代,数据分析师的角色变得愈发不可或缺。他们承担着帮助企业从数据中提取有价值信息的责任,而这些信息可以大 ...
2024-11-20数据分析作为现代信息时代的支柱之一,已经成为各行业不可或缺的工具。无论是在商业、科研还是日常决策中,数据分析都扮演着至关 ...
2024-11-20数字化转型已成为当今商业世界的热点话题。它不仅代表着技术的提升,还涉及企业业务流程、组织结构和文化的深层次变革。理解数字 ...
2024-11-20在现代社会的快速变迁中,选择一个具有长期增长潜力的行业显得至关重要。了解未来发展前景好的行业不仅能帮助我们进行职业选择, ...
2024-11-20统计学专业的就业方向和前景非常广泛且充满机遇。随着大数据、人工智能等技术的快速发展,统计学的重要性进一步凸显,相关人才的 ...
2024-11-20