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特征向量与特征空间有什么区别？
2020-05-21
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事物的每个属性值，都是在一定范围内变化的，如：修改桌子高度一般在0.5米-1.5米范围内变化，宽度在0.6米-1.5米范围内变化，长度是1米-3米的范围内变化，则由这三个范围限度的一个三维空间就是桌子的特征空间。


归纳来说，我们讨论问题的特征向量可能取值范围的全体就是特征空间。


而特征向量，指对一个具体事物（样本）往往可用其多个属性来描述，因此，描述该事物用了多个特征，将这些特征有序地排列起来，如一个桌子用长、宽、高三种属性的度量值有序地排列起来，就成为了一个向量，这种向量就被成为特征向量，每个属性成为它的一个分量，或一个元素。

可见，如果把矩阵看作是运动，那么特征值就是运动的速度，特征向量就是运动的方向。

特征向量在一个矩阵的作用下作伸缩运动，伸缩的幅度由特征值确定。特征值大于1，所有属于此特征值的特征向量变长；特征值大于0小于1，特征向量缩短；特征值小于0，特征向量缩过了界，反方向到原点那边去了。
 
其实，特征值和特征向量在我们的生活中，也非常普遍。

(1)可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离散的动力系统中。例如，在力学中，惯量的特征向量定义了刚体的主轴。惯量是决定刚体围绕质心转动的关键数据；

(2)数学生态学家用来预测原始森林遭到何种程度的砍伐，会造成猫头鹰的种群灭亡；

(3)著名的图像处理中的PCA方法，选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法，还有图像压缩的K-L变换。再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方面。

(4)在谱系图论中，一个图的特征值定义为图的邻接矩阵A的特征值，或者（更多的是）图的拉普拉斯算子矩阵，Google的PageRank算法就是一个例子。


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