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【从零开始学统计】5.假设检验那些事
2014-07-04
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1、什么是假设检验？
       个人理解，假设检验就是利用反证法和小概率事件对原假设（Null Hypothesis）和备选假设（Alternative Hypothesis）进行选择。首先，假设原假设成立，那么就可以利用原假设的一些条件，如统计量的概率分布。然后，选定显著性水平α和对应的拒绝域（一个区间），一般选择α= 5%或α= 1%。接下来，根据样本和假设的统计量，计算P值（P Value）。如果P值对应的统计量在显著性水平以内，那么就拒原假设。直观的理解，因为α比较小，属于小概率事件，一般不可能发生，但是现在却发生了，那么原假设有问题，所以拒绝原假设，接受备选假设。

2、为什么要做假设检验
       假设检验是统计中常用的手段，大家比较熟悉的t检验、方差分析、卡方检验等都是假设检验的范畴。为什么要做假设检验呢？实际上原因就在于抽样的问题。如果我们不抽样，直接比较总体，那就无需做假设检验。假设检验都是对样本做的，目的是通过样本推理总体。
       例如，想比较两个班的学生身高是否有差异，有两个方法：一是把两个班级的学生都测量身高，然后比较两个班的均数。二是从每个班抽样一部分学生测量身高，然后比较抽样的两个样本均数，推理是否两个班的身高不同。
       第一种方法当然最理想，直接就知道是不是有差异，但是也有一个问题，如果不是比较2个班，而是两个省，那测量起来就有点麻烦。所以在很多情况下第一种方法难以实施。
       第二种方法实际上就是假设检验的思想，通过样本推理总体。比如，两个班均100人，从每个班各抽样30人测量身高，然后比较他们的身高是否有差异。
       但是，这也有个问题，那就是，我每个班选择的30人是否代表了这个班的身高（也正是前面所说抽样误差的问题）。
       如果最终比较这两个班的60人，发现身高不同，我是否可以通过这60人的结果来说这2个班的身高就不同呢？这就需要一个概率的问题，也就是我根据现有的数据（也就是这60人）作出的推断有多大的可信程度？如果有95%以上的把握认为我的结果是可靠的，那我就可以比较放心地说，这两个班级的学生身高就是不同。如果我的把握度没有这么高，我是否能说的理直气壮呢？到底多高才算高呢？所以就需要一个标准，目前国际上公认的标准就是95%。95%只是一个标准，并不是说我非要P<0.05才算结果理想，P<0.05表示我的把握度大于95%，但是如果P=0.06，那我的把握度=94%难道就不行吗？所以现在的文章要求列出确切的P值，结论是不是可靠，审稿人看看P值到底有多大，心里自然有数。如果单纯写个P>0.05，那P=0.06也是大于0.05，P=0.96也是大于0.05，但是之间的差距那是一目了然。所以，建议还是写上具体的P值是最好。


需要指出的是，无论是否拒绝原假设，都不能保证100%正确，只能在一定程度上估计这件事情可能性。而且检验结果很大程度上取决于样本，所以一旦样本出现偏倚（Biased），会直接影响检验结果。


3、假设检验，形式化的可以总结为以下6步：
  • 确定原假设H0和备选假设H1
  • 根据H0，确定统计量的概率分布和相关参数
  • 确定显著性水平α和拒绝域
  • 根据步骤2的参数，求出P值
  • 查看P值是否位于拒绝域以内
  • 做出判断，如果P值在拒绝域以内，那么拒绝H0接受H1。否则接受H0拒绝H1。

下面的图是双侧和单侧检验的拒绝域：

1.gif

上面提到，假设检验不会100%确保检验结果正确，会出现上面的两类错误：
第一类错误：错误的拒绝原假设。原假设正确，但是却错误的拒绝了，发生此事件的概率为α，也就是显著性水平。所以显著性水平越高，越容易发生。
第二类错误：错误的接受原假设。原假设错误，但是却接受了原假设。发生此事件的概率需要根据统计量的分布，和被选项假设具有具体值来确定，这里先略过（《Head First Statistics》假设检验这一章中举了一个例子描述如何求解其概率）。

  • 同时引申出一个问题如何选择显著性水平α：
       显著性水平α一般为0.05，但是根据需要可以设为0.1或者0.01。当α较大时，第一类错误的概率增大，第二类错误的概率减少；α较小时，则相反。下面举几个例子：
       例1 一个汽车制造商正在考核新零件，该零件对车辆安全至关重要。目前正在抽样检测，你觉得α应该如何指定。
解答H0：新配件与原始配件的安全性能相同。H1：新配件比原始配件更安全。由于此配件关系用户声明安全，所以需要尽量使用较安全的配件，拒绝假设H0，那么可以设将α设置高一点，比如 0.1。
       例2 一个机器中，有一个配件，替换成本十分高，但是如果该配件损坏了，对机器影响不大，请问显著性水平应该如何选取。
解答 H0：配件正常工作。H1：配件损坏。由于替换成本较高，所以需要确保零配件的确损坏才能替换，可以将α设置较小，比如0.01。


再往外说点，来说说区间估计与假设检验的关系（前面不是刚弄过置信度和最小二乘估计么，略微结合一下）
主要区别：
区间估计通常求得的是一样本估计值为中心的双侧置信区间，而假设检验以假设总体参数值为基准，不仅有双侧检验也有单侧检验
区间估计立足于大概率，通常以较大的置信水平（1-α）去保证总体参数的置信区间。而假设检验立足于小概率，通常是给定很小的显著性水平（α）去检验对总体参数的先验假设是否成立。
那些剪不断的联系：
两者的推断结果都有一定的可信程度也有相应的风险；
对同一问题的参数进行推断，使用同一种样本，同一统计量和分布，所以两者可以互相转换。也就是说区间估计问题可以转换成假设问题，区间估计中的置信区间对应假设检验中的接受域，置信区间以外的就是其拒绝域。


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