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特征值和特征向量的详细计算及几何意义
2020-07-08
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矩阵特征值与特征向量在机器学习算法中经常会用到，每次出现都有着其独特的意义，如果不能深入理解特征值和特征向量两个概念，对我们机器学习的实际应用会有很大影响。小编今天整理了特征值和特征向量的概念计算以及几何意义，希望对大家机器学习有所帮助。

一、特征值和特征向量的概念和计算

设A是n阶方阵，如果存在常数及非零n向量x，使得，则称是矩阵A的特征值，x是A属于特征值的特征向量。给定n阶矩阵A，行列式

的结果是关于的一个多项式，成为矩阵A的特征多项式，该特征多项式构成的方程称为矩阵A的特征方程。

 

　　定理：n阶矩阵A的n个特征值就是其特征方程的n个跟；而A的属于特征值的特征向量就是其次线性方程的非零解。


二、特征值和特征向量的几何意义

我们先记线性变换一个T（Transformation）为T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2，容易知道矩阵A代表一个线性变换，可以做升维降维，放大缩小以及旋转的线性变换，而对于方阵A而言，是不存在升维降维的。即一个方阵A其对向量\vec{v}的线性变换为伸长收缩或者旋转。

T(\vec{v}) = A\vec{v}

在\vec{i},\vec{j}为基向量的空间下有个向量\vec{v}:

对\vec{v}随便左乘一个矩阵A，即对\vec{v}进行一个线性变换。

调整下\vec{v}的方向，使其特殊一点。

可以观察到，调整后的\vec{v}和A\vec{v}在同一直线上，只是A\vec{v}的长度相对\vec{v}的长度变长了。

此时，我们就称\vec{v}是A的特征向量，而A\vec{v}的长度是\vec{v}的长度的\lambda倍，\lambda就是特征值。

即    T(\vec{v}) = A\vec{v} = \lambda \vec{v}

 


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