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统计学中为什么要对变量取对数？

2016-03-08

统计学中为什么要对变量取对数？

对数据做一些变换的目的是它能够让它符合我们所做的假设，使我们能够在已有理论上对其分析。
对数变换(log transformation)是特殊的一种数据变换方式，它可以将一类我们理论上未解决的模型问题转化为已经解决的问题。我将说两类比较有代表性的模型。

理论上：随着自变量的增加，因变量的方差也增大的模型。

先给个很经典的例子，如分析美国每月电力生产数。

左边是正常数据，可以看到随着时间推进，电力生产也变得方差越来越大，即越来越不稳定。这种情况下常有的分析假设经常就不会满足（误差服从独立同分布的正态分布，时间序列要求平稳）。

这必然导致我们寻求一种方式让数据尽量满足假设，让方差恒定，即让波动相对稳定。而这种目的可以通过对数转换做到。

理论上，我们将这类问题抽象成这种模型，即分布的标准差与其均值线性相关。
即 $\sqrt{Var(Z_{t})} =\mu _{t}\times \sigma$ ,其中 $E(Z_{t}) =\mu _{t}$ 。
由定义可推： $Z_{t}=\mu _{t}\left( 1+\frac{Z_{t}-\mu _{t}}{\mu _{t}} \right)$ ,利用log函数的性质： $log(1+x)\approx x$ (当x足够小)
那么 $log(Z_{t})\approx log(\mu _{t})+\frac{Z_{t}-\mu _{t}}{\mu _{t}}$ .
那么很容易就知道 $E(log(Z_{t})) \approx log( \mu _{t})$ 和 $Var(log(Z_{t})) \approx \sigma ^{2}$ .

所以对数变换能够很好地将随着自变量的增加，因变量的方差也增大的模型转化为我们熟知的问题。

经验上：研究数据的增长率分布存在一定规律的模型。

再给个例子：实际研究中，某一研究对象自身性质难以研究，但其增长率是服从一定分布。例如说： $Z_{t}=(1+X_{t}) \times Z_{t-1}$ ,其中 $X_{t}$ 是每年增长率（不很大）。
我们可以考虑对数变换： $log(Z_{t})-log(Z_{t-1})=log\left( \frac{Z_{t}}{Z_{t-1}} \right)=log\left( 1+X_{t} \right)\approx X_{t}$
这样，我们又可以将研究数据的增长率分布存在一定规律的模型转化为我们熟知的问题。

在对数转换后，人们又思考了很多其他的转换方式（如Cox-Box转换）。但总而言之，每一种转换方式都是为了让数据符合我们的假设，来对其进行分析。我所说的对数变换原因只是冰山一角，如有不正确的地方还请各位多多指正。

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