R语言与回归分析几个假设的检验

一、从线性回归的假设说起

对于线性回归而言，若要求回归估计有一些良好性质比如无偏性，就需要加上一些假定条件。比如要达到估计的无偏性，我们通常需要加上高斯-马尔科夫条件：

A1、对参数而言的线性性

A2、样本的随机抽样性

A3、误差的条件均值为0

A4、不存在完全共线性

A5、同方差假设

在上述条件上加上误差项服从正态分布，就得到了经典线性回归模型的6大假定。保证了估计的良好性质。

现在我们来考虑一下这几个条件，它们真的十分容易达到吗？

我们先从比较容易满足的的假设A4入手分析：完全共线性导致的结果是最小二乘的结果不唯一。所以这里要求的是数据相关性不能为1，但并不是不能有相关性。导致完全共线性的原因不外乎以下三个：1、错误的将一系列已建立线性关系的因变量包括在处理的数据中（但其实这个的相关度还是达不到1的，但是会影响到回归的效果，更加会影响到你的解释）2、处理虚拟变量不当导致的错误。用r个虚拟变量表示离散变量取值时，多重共线性在所难免（这个是真正的完全共线性，因为离散变量表达了所有的情况）3、样本量过小导致的无法识别。这个也只能增加样本量来解决问题。

再来看A2，这个我们通过数据收集方式的先验知识来判断最优，我们不知道是也可以通过残差的独立性来看，在R的car包中提供了一个可做独立性检测（durbin-watson检验）的函数durbinWatsonTest()。该检验适用于时间独立数据，对于非聚集型数据并不适用。

看A3说的是误差项里不包括自变量的任何信息，这个在作解释是十分重要的。也可以证明均值为0的条件总是可以达到的，通过适当变换。

A1、A5就没有那么容易达到。虽然他们对无偏性的影响并不大，最小二乘的估计量仍是无偏且一致的（相合的），但是有效性时会受到影响的。

那么，我们现在的问题就是如何判定这两个假定成立？

二、异方差的线性回归
        关于异方差我们必须注意到这样一个事实：即便误差具有一致的方差，最小二乘残差仍有不等的方差。我们可以通过对学生残差（主要是排除一些异常值，让数据平稳一些）根据拟合值绘制散点图来辨别之。当然我们也有统计的办法如Breusch－Pagan检验

在R中，扩展包lmtest中的Breusch－Pagan检验。或者利用car包中的ncv.test()函数。二者工作的原理都是相同的。在回归之后，我们可以对拟合的模型采用bptest（）函数

unrestricted<-lm(z~x)

bptest(unrestricted)

这将得到检验的“学生化的”（studentized）结果。如果为了保持与其他软件结论的一致性（包括ncv.test())，我们可以设置studentize=FALSE

我们来看一个例子：以下数据取自伍德里奇的《计量经济学导论》均保留原数据名

library(foreign)

B<-read.dta("D:/R/data/SAVING.dta")#导入数据

library(lmtest)

result2<-lm(sav~inc+size+educ+age+black,data=B)

bptest(result2)

studentized Breusch-Pagan test

data:  result2

BP =5.5756, df = 5, p-value = 0.3497 #从这里看得出数据是不具有异方差性的

C<-read.dta("D:/R/data/SMOKE.dta")

result3<-lm(cigs~log(income)+cigpric+educ+age+restaurn,data=C)

bptest(result3)

studentized Breusch-Pagan test

data:  result3

BP =11.0583, df = 5, p-value = 0.05024#这里可以认为数据有异方差性，但表现的不是特别强烈

如果去掉“学生化”我们可以得到：

>result3<-lm(cigs~log(income)+cigpric+educ+age+restaurn,data=C)

>bptest(result3,studentize=FALSE)

Breusch-Pagan test

data:  result3

BP =24.6376, df = 5, p-value = 0.0001637#这里可以看出异方差性是很明显的。

这也说明了学生化对异方差的修正作用。

对smoke数据作图分析也可以得到一个不错的，直观的结果。

异方差的存在性影响ols估计量的有效性，使得t检验与F检验不再有效，所以存在异方差时，必须使用异方差稳健标准误代替标准误。一般的，我们使用white一致标准误来做假设检验。

为了计算异方差一致性的协方差矩阵，我们可以利用car包中的hccm（）函数，而不是vcov()。

sandwich包中的vcovHC()命令可以实现同样的功能。同时利用vcovHAC()或者NeweyWest（）函数可以进行异方差和自相关稳健性Newey—West估计（注1）。

library(sandwich)

NeweyWest(result3)

neweywest<- coeftest(result3, vcov = NeweyWest(result3))

print(neweywest)#得出稳健的估计

summary（result3）

对比两个估计的结果：（注意P值的变化）

稳健估计的：

Estimate   Std.Error   t value  Pr(>|t|)  

(Intercept) -2.054967   8.496552  -0.2419   0.808951  

log(income)  1.891021  0.642539   2.9430   0.003344 **

cigpric     -0.004685  0.099792    -0.0469    0.962567  

educ        -0.377021   0.169621    -2.2227   0.026513 *

age         -0.045268   0.023225   -1.9491    0.051633.

restaurn    -2.945906  1.042941    -2.8246    0.004851 **

---

Signif.codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

直接回归估计的：

Coefficients:

Estimate  Std. Error  t value  Pr(>|t|)  

(Intercept)   -2.054967  8.778358   -0.234 0.81497  

log(income)  1.891021  0.712092   2.656  0.00807 **

cigpric     -0.004685  0.102518   -0.046 0.96356  

educ        -0.377021   0.167975 -2.244  0.02507 *

age         -0.045268   0.028682 -1.578  0.11490  

restaurn    -2.945906  1.127952  -2.612  0.00918 **

---

Signif.codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

也可以看到协方差阵的变化：

vcovHAC(result3)

vcov(result3)

三、线性性的假设检验

car包中提供了一个函数可以自动的进行线性假设检验。根据我们对模型的设定，它既可以用一般的方法或调整后的协方差矩阵进行F或Wald检验。例如，如果我们有一个包括常数项的五个参数的模型，并且我们的零假设如下

H0：β0 =0， β3+β4=0

我们可以用如下的命令加以实现

unrestricted<-lm(y~x1+x2+x3+x4)

rhs<-c(0,1)

hm<-rbind<-(c(1,0,0,0,0),c(0,0,1,1,0))

linear.hypothesis(unrestricted,hm,rhs)

如果unrestricted是由lm得到的，默认状态下将会进行F检验。如果是由glm得到的，取而代之的将是Kai方检验。检验的类型可以通过type进行修改。

同样，如果我们想利用异方差或自相关稳健标准误进行检验，我们既可以通过设定white.adjust=TRUE来使用white标准误，也可以利用vcov计算我们自己的协方差矩阵。例如，如果我们想使用上述的Newey-West修正协方差矩阵，我们可以进行如下的设定：

linear.hypothesis(unrestricted,hm, rhs, vcov=NeweyWest(unrestricted))（注2）

四、附注

注1：Newey-West 的自相关异方差一致性估计：当异方差的形式未知的时候，加权最小二乘法（WLS）得到的估计结果虽然仍具有一致性，但是不在有效。为了解决这一问题，White（1980）提出了Heteroskedasticity Consistent Covariances 方法使存在异方差时能够对协方差矩阵进行一致性估计，而无须知道异方差的形式，但是 White 提出的方法假定序列的残差是不存在自相关的，为了解决这一问题，Newey-West（1987）提出了一个更为一般的估计量，使存在异方差和自相关是仍然能对协方差矩阵进行一致性估计。

注2、设定white.adjust=TRUE将会通过提高white估计量的精度来修正异方差；如果要使用经典的white估计量，我们可以设定white.adjust="hc0"

注3、对于异方差检验的另一函数

调用library(lmtest)

Goldfeld-Quandt Test,GQ检验的思想是先把时间序列数据按顺序排列，然后截去一定数量的中间段数据，留下的数据就自然分成两组，对这两组数据各自回归获得各组的残差平方和，把两个残差平方和除以各自的自由度，然后再相除，就获得了GQ统计量，这是一个F统计量。GQ检验的零假设为回归不存在异方差；备折假设则为存在异方差。

R语言中，使用函数gqtest()进行检验。 

gqtest(formula, point=0.5, fraction=0, alternative=c("greater", "two.sided", order.by=NULL, data=list())

GQ检验的思想是对数据回归得到残差序列,然后把残差作为被解释变量,原方程各解释变量作为解释变量做回归,得到bp的统计量

注4、异方差的手动算法

## packages and data
library("AER")
data("CigarettesB")
## regression
cig_lm2 < - lm(packs ~ price + income, data = CigarettesB)
## auxiliary regression
aux <- residuals(cig_lm2)^2
aux_lm <- lm(aux ~ income * price + I(income^2) + I(price^2),
data = CigarettesB)
## test statistic
nrow(CigarettesB) * summary(aux_lm)$r.squared
pchisq( nrow(CigarettesB) * summary(aux_lm)$r.squared,df=5,lower.tail=F)
[1] 0.007896581