一些常见的特征选择方法

现实中产生的特征维度可能很多，特征质量参差不齐，不仅会增加训练过程的时间，也可能会降低模型质量。因此，提取出最具代表性的一部分特征来参与训练就很重要了。

通常有特征抽取和特征选择两种方法。这里分别介绍一下。

特征抽取

特征抽取中最常见的当属PCA了。

PCA

对于特征之间存在正交关系，数据满足高斯分布或指数分布的数据，作线性变换，使用方差、协方差去噪，生成新的主元，接下来按重要性排序后取少数参与训练，达到减少特征的目的。
这里最重要的思想是把多个特征进行线性变换，使用较少的特征表达原来多个特征的主要特点。
由于现实中取得的数据绝大部分满足高斯分布，所以PCA应用极广。

人脸识别应用
将多幅同一人的人脸图像进行PCA变换，找到代表人脸的主要特征模型。当有新的人脸需要识别时，进行相同变换，并与已存在的人脸特征模型进行匹配。

R应用方法
//PCA方案1：用SVD实现
pca1<-prcomp(USArrests, scale = TRUE)
//PCA方案2：采用线性代数中的实对称均值的对角化实现
pca2<-princomp(USArrests,cor=T)
summary(pc1)

summary的输出为：
    Importance of components:
    PC1 PC2 PC3 PC4
    Standard deviation 1.5749 0.9949 0.59713 0.41645
    Proportion of Variance 0.6201 0.2474 0.08914 0.04336
    Cumulative Proportion 0.6201 0.8675 0.95664 1.00000

上面三行分别为标准差，方差贡献率，累计方差贡献率。
根据上面的数据，至PC3时，累计方差贡献率已达0.95664，因此只取前三个特征已经足够。

特征选择

特征选择主要有Filter、Wrapper、Embedded等几种不同的思路。这里主要写写Filter。

卡方检验

在有不同特征值的影响下，对两组目标变量作卡方检验，计算x2值，看两组数据是否有统计学上的明显差异。

这里给出R中的代码例子。

1、使用卡方检验判断患者治疗方式对治疗效果的影响

library(vcd)//加载vcd数据包
//准备进行卡检验所需的数据，提取治疗方式与治疗效果
mytable<-xtabs(~Treatment+Improved,data=Arthritis)
//对mytable进行卡方检验
chisq.test(mytable)
以下是输出结果

    Pearson's Chi-squared test

    data: mytable
    X-squared = 13.055, df = 2, p-value = 0.001463

p < 0.01，可以判断患者接受的治疗方式对治疗效果有明显影响。
2、使用卡方检验判断患者的性别对治疗效果的影响
library(vcd)//加载vcd数据包
//准备进行卡检验所需的数据，提取患者性别与治疗效果
mytable<-xtabs(~Improved+Sex,data=Arthritis)
//对mytable进行卡方检验
chisq.test(mytable)
以下是输出结果

    Pearson's Chi-squared test

    data: mytable
    X-squared = 4.8407, df = 2, p-value = 0.08889

p > 0.05，可以判断患者的性别对治疗效果无明显影响。

上面的实验中，p值表示不同列之间的相互独立的概率。
在1中，由于p值很小，所以拒绝了治疗方式与治疗效果之间相互独立的假设。
在2中，由于p值不够小，所以无法拒绝性别与治疗效果之间相互独立的假设。

WOE、IV

预测目标变量所需的信息总量蕴含在所有的特征中，某个特征所蕴含信息量（IV值）越大，则越重要。
IV值的计算以WOE为基础。
详细的概念、原理及公式可以参考这篇文章
数据挖掘模型中的IV和WOE详解：https://www.cda.cn/view/24633.html

接下来看看R中的应用

//安装和加载woe包。
install.packages("woe")
library(woe)
//计算数据集mtcars中，cyl这一列对目标变量am的woe值和iv值。
woe(Data=mtcars,"cyl",FALSE,"am",10,Bad=0,Good=1)
以下是输出结果
    BIN BAD GOOD TOTAL BAD% GOOD% TOTAL% WOE IV BAD_SPLIT GOOD_SPLIT
    1 4 3 8 11 0.158 0.615 0.344 135.9 0.621 0.273 0.727
    2 6 4 3 7 0.211 0.231 0.219 9.1 0.002 0.571 0.429
    3 8 12 2 14 0.632 0.154 0.438 -141.2 0.675 0.857 0.143

//计算数据集mtcars中，mpg这一列对目标变量am的woe值和iv值。
woe(Data=mtcars,"mpg",TRUE,"am",10,Bad=0,Good=1)
以下是输出结果
    BIN MIN MAX BAD GOOD TOTAL BAD% GOOD% TOTAL% WOE IV BAD_SPLIT GOOD_SPLIT
    1 1 10.4 14.3 4 0 4 0.211 0.000 0.125 -Inf Inf 1.00 0.00
    2 2 14.7 15.2 3 1 4 0.158 0.077 0.125 -71.9 0.058 0.75 0.25
    3 3 15.5 17.3 3 1 4 0.158 0.077 0.125 -71.9 0.058 0.75 0.25
    4 4 17.8 19.2 4 0 4 0.211 0.000 0.125 -Inf Inf 1.00 0.00
    5 5 19.2 21.0 1 3 4 0.053 0.231 0.125 147.2 0.262 0.25 0.75
    6 6 21.4 22.8 2 2 4 0.105 0.154 0.125 38.3 0.019 0.50 0.50
    7 7 22.8 27.3 2 2 4 0.105 0.154 0.125 38.3 0.019 0.50 0.50
    8 8 30.4 33.9 0 4 4 0.000 0.308 0.125 Inf Inf 0.00 1.00

信息熵与信息增益

信息的熵，表示不确定性。
在一个数据集中，先对目标分类变量进行熵的计算，再对目标分类变量按某一个特征值进行分组后进行一次熵的计算，两次熵值之差就是该特征值的信息增益。特征值的信息增益越大，表示该特征值的重要性越高。
这里有一个前提，即，目标变量是一个分类变量。

这里使用R语言代码作个说明
一个老太太去买菜，市场上可供选择的东西有以下几种：西红柿(1)、白菜(2)、豆腐(3)、咸菜(4)、馒头(5)、西瓜(6)、樱桃(7)、苹果(8)、猪肉(10)、牛肉(11)、羊肉(12)。不给出任何其它信息之前，我们无法判断老太太今天会买什么菜。此时熵值最大，为

install.packages("entropy")
library(entropy)
y<-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)
//使用max likehood方式计算熵值
entropy(y,method = "ML")//输出值为：2.327497
接下来，在给出4条老太太买菜习惯的信息后，我们发现老太太今天只可能会买樱桃或西瓜。
此时不确定性变小，熵值变小，为：

y<-c(6,7)
entropy(y,method = "ML")//输出值为：0.6901857
因此，4条老太太买菜习惯的信息增闪为：2.327497-0.6901857=1.637311
Gini指数

这个指标同信息增益原理类似，哪个特征对Gini指数贡献大，哪个特征重要。

给出R语言实现
不给出任何信息时，Gini指数为：

install.packages("ineq")
library(ineq)
y<-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)
Gini(y)//输出结果为：0.3055556
给出4个买菜习惯信息后，Gini指数为：

y<-c(6,7)
Gini(y)//输出结果为：0.03846154
相关性
数据集中的两个特征之间存在共线性，即较强的线性关系，就存在冗余，在最终训练时只使用其中一个就足够。
这里列出一些衡量相关性的值。

1、协方差与相关系数。
这两个值描述的是两个变量与各自期望值之间的误差是否变动一致，它们之间可以互相转换，一般使用相关系数较多。相关系数范围为[-1,1]，其中-1代表完全负相关，1代表完全正相关，0代表完全独立。

这里列出R应用方法

//计算两列数据之间的相关系数
cor(mtcars$cyl,mtcars$disp,method = "pearson")//输出值为：0.9020329，表示两列数据正相关
cor(mtcars$mpg,mtcars$disp,method = "pearson")//输出值为：-0.8475514，表示负相关
//计算两列数据之间的协方差
cov(mtcars$cyl,mtcars$disp,method = "pearson")//输出值为：199.6603
cov(mtcars$mpg,mtcars$disp,method = "pearson")//输出值为：-633.0972

method取值有三种：
pearson：适用于连续变量，如分析血压值和年龄的相关性。
spearman：适用于顺序数据，如分析数学和语言成绩排名相关性。
kendall：适用于有序分类变量，如分析疼痛级别分类和病情严重程序分类。
2、偏相关
当数据集中的特征很多时，两个特征之间的相关性会受到很多其它特征的影响。在排除掉其它特征的影响之后，计算出来的两个特征的相关性系数，叫偏相关系数。
在特征z固定的前提下，分析x、y的相关性，得到的是一阶偏相关系数，在特征z、q固定的前提下，得到的是二阶偏相关系数。
这里给出R应用
library(ggm)
data("marks")//加载marks数据集
var(marks)//计算marks数据集的方差矩阵
//计算固定analysis,statistics时，vectors和algebra的二阶偏相关系数
pcor(c("vectors", "algebra", "analysis", "statistics"), var(marks))//输出结果为：0.388203
pcor(c(2,3,4,5), var(marks))//与上一句代码意义相同
//偏相关系数的显著性检验，入参分别为：偏相关系数，固定变量个数，样本量
pcor.test(0.388203,2,dim(marks)[1])//输出值p=0.0002213427，p<0.01，因此，在固定analysis,statistics时，vectors和algebra两个特征存在明显偏相关性
Lasso
Lasso的基本思想是在回归系数的绝对值之和小于一个常数的约束条件下，使残差平方和最小化，从而能够产生某些严格等于0的回归系数，达到特征选择的目的。
这里给出R中的应用例子
data(diabetes)//加载数据集diabetes
//使用lasso进行特征选择
lars(diabetes$x,diabetes$y,type="lasso")

输出结果为：

    Call:
    lars(x = diabetesx,y=diabetesy)
    R-squared: 0.518
    Sequence of LASSO moves:
    bmi ltg map hdl sex glu tc tch ldl age hdl hdl
    Var 3 9 4 7 2 10 5 8 6 1 -7 7
    Step 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Var行即是lasso给出的特征选择顺序，Setp行即时顺序编号。

以下方法可以得到各特征的多重共线性：

data<-lars(diabetes$x,diabetes$y)
summary(data)

输出结果为：

    LARS/LASSO
    Call: lars(x = diabetesx,y=diabetesy)
    Df Rss Cp
    0 1 2621009 453.7263
    1 2 2510465 418.0322
    2 3 1700369 143.8012
    3 4 1527165 86.7411
    4 5 1365734 33.6957
    5 6 1324118 21.5052
    6 7 1308932 18.3270
    7 8 1275355 8.8775
    8 9 1270233 9.1311
    9 10 1269390 10.8435
    10 11 1264977 11.3390
    11 10 1264765 9.2668
    12 11 1263983 11.0000
按data中Step行指定的顺序，依次选取特征，则Cp的值从上往下对应变化，Cp值越小，表示回归模型越精确。
如果我们取前3个特征，则cp值为86.7411。如果取前7个特征，则Cp值为8.8775，达到最小。
因此，计算量允许的范围内，取前7个特征进行训练，得到的回归模型最精确。如果要严格控制计算量，则取前3个特征即可。