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线性代数之从线性方程组看线性组合
2018-03-18
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线性代数之从线性方程组看线性组合

对于一个线性方程组,我们可以通过画出每条方程所代表的曲线,所有曲线的交点就是该线性方程组的解。这种做法可以看做是对矩阵方程Ax = b 的行解法。如果从列的角度看,就是线性组合了。

例如线性方程组:

写成矩阵的形式就是:

 

行图像:

首先我们画出方程2x-y=0和-x+2y=0分别代表的直线:

很显然,我们可以看到该方程组的解是(1,2)。这种解法就是从A矩阵的行的角度来分析的。矩阵A每一行都可以画出一条直线,所有直线的交点就是方程组的解。

列图像:

现在我们从列的角度来分析。事实上,我们可以将上面的矩阵方程拆成下面这样:


如何理解这个方程呢?

我们可以把 看成向量。所以这里想用这两个向量来制造出向量。如果从坐标中理解就是:


可以看到,要制造出向量, 也就是x = 1, y = 2。

以前学习直角坐标系的时候,我们知道任意的二维向量都可以用 这两个基坐标来组合得到,这其实就是线性组合了。只不过现在我们把基坐标换成了,只要在二维平面内,都可以用这两个向量组合出任意的向量,在这里我们把这两个向量叫做基底。

当然,要能够组合出任意的向量, 必须不在同一条直线上,这个从图上看很显然。

对于n维向量也是同样的道理,只是比较抽象,没办法用坐标来表示。

利用线性组合求解矩阵与向量的相乘:

有了线性组合的这种想法,在解A*b这种结构的矩阵相乘时就可以利用线性组合的想法了。例如:

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