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特征向量和特征值存在什么样的内在关系？
2020-05-20
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特征向量（eigenvector），矩阵理论上一个非常重要的概念，被广泛的应用于各个领域。

数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变，该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。

特征值也有翻译成本征值，特征值在微分方程里描述了状态变量的变化规律。



矩阵A当然是一个变换，然后这个变换的特殊之处是当它作用在特征向量u上的时候， u只发生了缩放变换，它的方向并没有改变，并没有旋转。

特征向量是经过了变换，这个向量可能会 scale， 但是仍旧保持其原有的方向，与特定的特征值对应。所以特征向量某种意义上展示了这个变换的‘特征’。

特征值是为两个，可以是复数，特征向量也可以包含复数(其实如果我们看3d的旋转，会更加的清楚，旋转轴就是旋转矩阵的特征向量。

wikipedia上一些常见的变换对应的特征向量如下：



从这个图当中，我们可以得到一些结论。

scaling: 特征值虽然只有一个（当然严密一点也可以说两个相等），但是对应的特征向量可以有无数个；


unequal scaling：特征值两个，特征向量两个；


rotation：特征值是为两个，可以是复数，特征向量也可以包含复数(其实如果我们看3d的旋转，会更加的清楚，旋转轴就是旋转矩阵的特征向量。)；


horizontal shear：特征值一个，特征向量一个。


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