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数据分析师教程《统计学极简入门》第7节 相关性分析
2024-10-09
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7. 相关性分析

前面的假设检验方差分析基本上都是围绕差异性分析,不论是单个总体还是两个总体及以上,总之都是属于研究“区别”,从本节开始,我们关注“联系”,变量之间的关系分为 函数关系和相关关系。 本节这里重点探讨的是不同类型变量之间的相关性,千万记住一点相关性不代表因果性。除表中列出的常用方法外,还有Tetrachoric、相关系数等。

变量类型 变量类型 相关系数计算方法 示例
连续型变量 连续型变量 Pearson(正态)/Spearman(非正态) 商品曝光量和购买转化率
二分类变量(无序) 连续型变量 Point-biserial 性别和疾病指数
无序分类变量 连续型变量 方差分析 不同教育水平的考试成绩
有序分类变量 连续型变量 连续指标离散化后当做有序分类 商品评分与购买转化率
二分类变量 二分类变量 数学公式: 检验 联合 Cramer's V 性别和是否吸烟
二分类变量(有序) 连续型变量 Biserial 乐器练习时间与考级是否通过
无序分类变量 无序分类变量 数学公式: 检验 / Fisher检验 手机品牌和年龄段
有序分类变量 无序分类变量 数学公式: 检验 满意度和手机品牌
有序分类变量 有序分类变量 Spearman /Kendall Tau相关系数 用户等级和活跃程度等级

连续型变量 vs 连续型变量 : Pearson / Spearmanr

Pearson

Pearson相关系数度量了两个连续变量之间的线性相关程度;

import random 
import numpy as np
import pandas as pd

np.random.seed(10)
df = pd.DataFrame({'商品曝光量':[1233,1333,1330,1323,1323,1142,1231,1312,1233,1123],
     '购买转化率':[0.033,0.034,0.035,0.033,0.034,0.029,0.032,0.034,0.033,0.031]})
df
pd.Series.corr(df['商品曝光量'], df['购买转化率'],method = 'pearson'# pearson相关系数
# 0.885789300493948
import scipy.stats as stats

# 假设有两个变量X和Y
X = df['商品曝光量']
Y = df['购买转化率']

# 使用spearmanr函数计算斯皮尔曼相关系数和p值
corr, p_value = stats.pearsonr(X, Y)

print("Pearson相关系数:", corr)
print("p值:", p_value)
# Pearson相关系数: 0.8857893004939478
# p值: 0.0006471519603654732

Spearman等级相关系数

Spearman等级相关系数可以衡量非线性关系变量间的相关系数,是一种非参数的统计方法,可以用于定序变量或不满足正态分布假设的等间隔数据;

import random 
import numpy as np
import pandas as pd

np.random.seed(10)
df = pd.DataFrame({'品牌知名度排位':[9,4,3,6,5,8,1,7,10,2],
     '售后服务质量评价排位':[8,2,5,4,7,9,1,6,10,3]})
df
pd.Series.corr(df['品牌知名度排位'], df['售后服务质量评价排位'],method = 'spearman'# spearman秩相关
# 0.8787878787878788
import scipy.stats as stats

# 假设有两个变量X和Y
X = df['品牌知名度排位']
Y = df['售后服务质量评价排位']

# 使用spearmanr函数计算斯皮尔曼相关系数和p值
corr, p_value = stats.spearmanr(X, Y)

print("斯皮尔曼相关系数:", corr)
print("p值:", p_value)
# 斯皮尔曼相关系数: 0.8787878787878788
# p值: 0.0008138621117322101

结论:p = 0.0008<0.05,表明两变量之间的正向关系很显著。

二分类变量(自然)vs 连续型变量 :Point-biserial

假设我们想要研究性别对于某种疾病是否存在影响。我们有一个二元变量“性别”(男、女)和一个连续型变量“疾病指数”。我们想要计算性别与疾病指数之间的相关系数,就需要用到Point-biserial相关系数

import scipy.stats as stats

# 创建一个列表来存储数据
gender = [0, 1, 0, 1, 1, 0]
disease_index = [3.2, 4.5, 2.8, 4.0, 3.9, 3.1]

# 使用pointbiserialr函数计算Point-biserial相关系数和p值
corr, p_value = stats.pointbiserialr(gender, disease_index)

print("Point-biserial相关系数:", corr)
print("p值:", p_value)
# Point-biserial相关系数: 0.9278305692406299
# p值: 0.007624695507848026

结论:p = 0.007<0.05,表明两变量之间的正向关系很显著。即性别与疾病指数正相关

无序分类变量 vs 连续型变量 : ANOVA

假设我们想要比较不同教育水平的学生在CDA考试成绩上是否存在显著差异。我们有一个无序分类变量“教育水平”(高中、本科、研究生)和一个连续型变量“考试成绩”。

import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.formula.api import ols

# 创建一个DataFrame来存储数据
data = pd.DataFrame({
    '教育水平': ['高中''本科''本科''研究生''高中''本科''研究生'],
    '考试成绩': [80, 90, 85, 95, 75, 88, 92]
})

# 使用ols函数创建一个线性模型
model = ols('考试成绩 ~ C(教育水平)', data=data).fit()

# 使用anova_lm函数进行方差分析
anova_table = sm.stats.anova_lm(model, typ=2)
anova_table

结论:p = 0.0102<0.05,拒绝原假设,表明两变量之间的正向关系很显著。教育水平与考试成绩正相关

有序分类变量 vs 连续型变量

连续型变量离散化后当做有序分类,然后用 有序分类变量 VS 有序分类变量的方法

二分类变量 vs 二分类变量 :检验 联合 Cramer's V

一项研究调查了不同性别的成年人对在公众场合吸烟的态度,结果如表所示。那么,性别与对待吸烟的态度之间的相关程度

- 赞同 反对
15 10
10 26
import numpy as np
from scipy.stats import chi2_contingency

observed = np.array([[15, 10],
                     [10, 26]])
observed

chi2, p, dof, expected = chi2_contingency(observed,correction =False) # correction =False
# 卡方值 
# P值 
# 自由度: 
# 与原数据数组同维度的对应期望值

chi2, p
#(6.3334567901234555, 0.011848116168529757)

结论:p = 0.0118<0.05,拒绝原假设,表明两变量之间的正向关系很显著。

phi = np.sqrt(chi2/n)
print("phi's V:", phi)
# phi's V: 0.3222222222222222

卡方检验时有多种指标可表示效应量,可结合数据类型交叉表格类型综合选择

  • 第一:如果是2*2表格,建议使用 指标
  • 第二:如果是33,或 44表格,建议使用列联系数
  • 第三:如果是n*n(n>4)表格,建议使用 校正列联系数
  • 第四:如果是m*n(m不等于n)表格,建议使用 Cramer V指标
  • 第五:如果X或Y中有定序数据,建议使用 指标

这里只列出 指标Cramer V指标 的计算,其他计算方式请读者自行研究。

# 计算Cramer's V
contingency_table = observed
n = contingency_table.sum().sum()
phi_corr = np.sqrt(chi2 / (n * min(contingency_table.shape) - 1))
v = phi_corr / np.sqrt(min(contingency_table.shape) - 1)

print("Cramer's V:", v)
# Cramer's V: 0.22878509151645754

二分类变量(有序) 连续型变量: Biserial

import numpy as np
from scipy.stats import pearsonr

# 生成随机的二元变量
binary_variable = np.random.choice([0, 1], size=100)

# 生成随机的连续变量
continuous_variable = np.random.normal(loc=0, scale=1, size=100)


# 注:此处的代码未经严格考证,请谨慎使用
def biserial_correlation(binary_variable, continuous_variable):
    binary_variable_bool = binary_variable.astype(bool)
    binary_mean = np.mean(binary_variable_bool)
    binary_std = np.std(binary_variable_bool)
    
    binary_variable_norm = (binary_variable_bool - binary_mean) / binary_std
    
    corr, _ = pearsonr(binary_variable_norm, continuous_variable)
    biserial_corr = corr * (np.std(continuous_variable) / binary_std)
    
    return biserial_corr

# 计算Biserial相关系数
biserial_corr = biserial_correlation(binary_variable, continuous_variable)

print("Biserial相关系数:", biserial_corr)
Biserial相关系数: -0.2061772328681707

无序分类变量 vs 无序分类变量

参考 检验

有序分类变量 vs 无序分类变量

参考 检验

有序分类变量 vs 有序分类变量

Kendall秩相关系数

Kendall秩相关系数也是一种非参数的等级相关度量,类似于Spearman等级相关系数

import random 
import numpy as np
import pandas as pd

np.random.seed(10)
df = pd.DataFrame({'品牌知名度排位':[9,4,3,6,5,8,1,7,10,2],
     '售后服务质量评价排位':[8,2,5,4,7,9,1,6,10,3]})
df
pd.Series.corr(df['品牌知名度排位'], df['售后服务质量评价排位'],method = 'kendall'# Kendall Tau相关系数
# 0.7333333333333333
from scipy.stats import kendalltau

# 两个样本数据
x = df['品牌知名度排位']
y = df['售后服务质量评价排位']

# 计算Kendall Tau相关系数
correlation, p_value = kendalltau(x, y)

print("Kendall Tau相关系数:", correlation)
print("p值:", p_value)
# Kendall Tau相关系数: 0.7333333333333333
# p值: 0.002212852733686067

浮生皆纵,恍如一梦,让我们只争朝夕,不负韶华!

下期将为大家带来《统计学极简入门》之 再看t检验、F检验、检验

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